Konstrukcje...
>W szkole matematyczka uświadomiła mnie, że nie można przeprowadzić trysekcji
>kąta. Zapomniała tylko przeprowadzić dowodu.
>Czy ktoś mógłby podać mi dowód na to, że podzielenie kąta na trzy równe
>części jest niemożliwe?
Niemożliwe jest podanie metody podzielenia cyrklem i linijką dowolnego kąta na trzy równe
części. Kąty dzielą się na takie, które da się podzielić na trzy części cyrklem i linijką (np.
90°), oraz na takie takie, których cyrklem i linijką nie da się
podzielić na trzy równe części (np. 120°).
Oczywiście, jeśli użyć odpowiednich narzędzi, to za ich pomocą można dokonać trysekcji
dowolnego kąta (tzw. konstrukcja neusis - tak Dinostarates dokonał trysekcji za pomocą
kwadratrysy).
Dowód niewykonalności trysekcji wymaga narzędzi - punkty płaszczyzny trzeba zinterpretować jako
liczby zespolone i wiedzieć co to jest ciało, rozszerzenie ciała oraz stopień rozszerzenia (a
więc i wymiar przestrzeni wektorowej).
Jak to się wie, to sprawa jest prosta - sprawdza się, że wszystkie punkty, które można zbudować
z danego odcinka jednostkowego cyrklem i linijką odpowiadaja liczbom zespolonym, które przy
każdym kroku konstrukcji albo należały do już zbudowanego ciała, albo są pierwiastkami trójmianu
kwadratowego (o współczynnikach z już zbudowanego ciała), czyli w każdym kroku konstrukcji nowe
ciało jest albo tym samym co w poprzednim kroku, albo jego rozszerzeniem stopnia 2. Dlatego
stopień rozszerzenia (Q(z) :Q) musi być potęgą dwójki dla każdego
konstruowalnego punktu z. A istnieją kąty, przy trysekcji których trzeba zbudować punkt
z, który jest pierwiastkiem nierozkładalnego wielomianu trzeciego stopnia. W takim
przypadku (Q(z) :Q)=3, i z konstruowalności z wynikałoby, że 3 jest
dzielnikiem potęgi dwójki.
Dlatego pani nie podała dowodu.
Istnienie kątów, których konstrukcyjnie nie da się
podzielić na trzy równe części pierwszy uzasadnił (w wieku 19 lat!) C. F. Gauss (1777-1855). Oto
dwa fragmenty z Rozdziału VII jego "Disquisitiones Arithmeticae" (Lipsk 1801, za W.
Więsław "Matematyka i jej historia", Opole 1997, str. 331-332), z dodanymi uwagami w
nawiasach kwadratowych.
Pierwszy za
365. Tym samym, przy pomocy poprzednich badań, sprowadziliśmy zagadnienie podziału koła na n części, gdzie n jest liczbą pierwszą, do rozwiązania równań, których liczba równa jest liczbie czynników [pierwszych], na które można rozłożyć liczbę n-1, a stopnie wielomianów określone są przez liczbę [chyba raczej: wartość] czynników. Zatem, jeśli n-1 jest potęgą liczby 2, co ma miejsce dla wartości n = 3, 5, 17, 157, 65537, ..., to podział koła sprowadza się do rozwiązania tylko równań kwadratowych, a funkcje trygonometryczne kątów P/n, 2P/n, ... [Gauss oznacza literą P liczbę p] mogą być wyrażone przy pomocy bardziej lub mniej złożonych (w zależności od n) równań kwadratowych. A zatem, w tym przypadku podział koła na n części, czyli konstrukcja n-kąta foremnego, może być dokonana przy pomocy konstrukcji geometrycznych. Na przykład, dla n = 17, z art. 354, 361 łatwo wyznaczyć następujący wzór na cosinus kąta [2]P/17:
|
Cosinusy wielokrotności tego kąta mają analogiczną postać, a sinusy zawierają o jeden radykał więcej. Jest godnym uwagi, że podczas, gdy możliwość geometrycznego dzielenia koła na trzy i pięć części była znana już w czasach Euklidesa, to w ciągu 2000 lat nie dodano do tych wyników nic nowego i że wszyscy matematycy uważali, że prócz wskazanych podziałów i tych, które otrzymuje się z nich bezpośrednio, a mianowicie podziałów na 15, 3*2m, 5*2m, 15*2m, i 2m części, żadne inne podziały nie są wykonalne przy pomocy konstrukcji geometrycznych. [...]
I rezultaty negatywne:
366. Jeśli trzeba dzielić koło na aa części, gdzie a oznacza liczbę pierwszą, to rzecz jasna, zawsze można wykonać to geometrycznie, jeśli a = 2, ale dla żadnych innych wartości a nie jest to możliwe, jeśli tylko a > 1 [tu Gauss stwierdza m. in. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta foremnego i niemożliwość trysekcji kąta 120 °!]; istotnie, wówczas należałoby rozwiązać, prócz tych równań, które potrzebne są do dzielenia na a części, także a-1 innych równań, stopnia a; równania te nie mogą być pominięte ani ich stopnie obniżone. Stopnie tych równań (także dla a = 1) będą zawsze dzielnikami pierwszymi liczby (a - 1)aa - 1.
Te uwagi Gaussa zamienił na ścisły dowód Pierre L. Wantzel (1814-1848) w 1837 r. Wantzel był repetytorem w École Polytechnique w Paryżu, tej samej, w której Evariste Galois dwukrotnie oblał egzamin wstepny: w 1828 (egzaminatorem był Lefebre) i w 1829 (egzaminatorem był Dinet).