Historia o Wielkim Twierdzeniu Fermata

III w.

Zadanie 8 z drugiej księgi Arytmetyki Diofantosa ma następującą treść: "Dany kwadrat rozłożyć na [sumę] dwa kwadraty."

Rozwiązanie ilustruje wzór a² = (2ak/(k² +1))² + (a(k² -1)/(k² +1))² (k dowolne) na przykładzie a = 4, k=2 (Diofantosa interesowało rozwiązywanie równań w liczbach wymiernych; dziś równania diofantyczne rozwiązuje się w liczbach całkowitych).

XV w.

W 1464 Regimontanus (Johannes Miller, 16 VI 1436 - 6 VII 1476), zamiłowany zbieracz i tłumacz greckich manuskryptów, odnalazł w Wenecji Arytmetykę Diofantosa.

XVI w.

W 1575 po raz pierwszy Xilander wydał łaciński przekład Arytmetyki Diofantosa. Simon Stevin przetłumaczył Arytmetykę na francuski.

XVII w.

W 1621 roku G. C. Bachet de Meziriac wydał grecką i łacińską wersję sześciu znanych (z trzynastu napisanych) rozdziałów (ksiąg) Arytmetyki Diofantosa z komentarzami i uzupełnieniami.

Po śmierci Fermata na marginesie jego egzemplarza książki w tym właśnie miejscu znaleziono dopisek treści:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

"Przeciwnie, nie można rozłożyć ani sześcianu na [sumę] dwa sześciany, ani bikwadratu na [sumę] dwa bikwadraty, i w ogóle żadnej potęgi większej niż druga na [sumę] dwie potęgi z takim samym wykładnikiem. Odkryłem naprawdę zadziwiający dowód tego [faktu]. Margines jest na to za mały."

Przypuszcza się, że dopisek pojawił się na marginesie w 1630 roku; jeśli to prawda, to z faktu, że Fermat nigdy więcej o tym "naprawdę zadziwiającym dowodzie" nie wspominał, wynikałoby, że znalazł w nim błąd.

Teraz to twierdzenie formułuje się tak:

Jeśli n>2, to równanie xⁿ + yⁿ = zⁿ nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych x,y,z

i nazywa Wielkim Twierdzeniem Fermata (po angielsku z reguły nazywa się je Fermat Last Theorem i oznacza skrótem FLT). Zdanie "Dla danego wykładnika n równanie xⁿ + yⁿ = zⁿ nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych x,y,z" nazywamy Wielkim Twierdzeniem Fermata dla wykładnika n.

Fermat znał dowód (oparty na zasadzie regresji - jednej z wersji zasady indukcji) tego faktu, że czwarta potęga (ogólniej: kwadrat) liczby naturalnej nie może być sumą ani różnicą dwóch czwartych potęg liczb naturalnych. Jest to jedyny wykładnik, dla którego istnieje elementarny dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata.

Aby udowodnić Wielkie Twierdzenie Fermata, wystarczy je udowodnić dla wykładnika 4 (co zrobił jeszcze Fermat) i dla tych wykładników n, które są liczbami pierwszymi.

Zwykle wyróżnia się dwa przypadki WTF dla wykładnika p będącego liczbą pierwszą:

I przypadek - przy dodatkowym założeniu, że p nie dzieli xyz,
II przypadek - przy dodatkowym założeniu, że p dzieli xyz.

Syn Fermata wydał po jego śmierci wszystkie zapiski matematyczne ojca. Notki na marginesach Arytmetyki zostały wydane w 1670 roku.

XVIII w.

W 1729 Ch. Goldbach w liście do mającego wówczas 22 lata Leonharda Eulera wspomniał o licznych hipotezach, zawartych w opublikowanych notatkach. W ten sposób zainteresował Eulera teorią liczb. Trzy lata później Euler pierwszą pracę z teorii liczb - obalił hipotezę Fermata o tym, że tzw. liczby Fermata są pierwsze.

Dowód faktu, że sześcian liczby naturalnej nie może być sumą dwóch sześcianów liczb naturalnych wykorzystuje arytmetykę pierścienia Z[(1+\sqrt(-3))/2]. Błędny dowód (wykorzystujący nieprawdziwe założenie, że w mniejszym pierścieniu Z[\sqrt(-3)] zachodzi jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze) Wielkiego Twierdzenia Fermata dla wykładnika 3 podał L. Euler w 1768; lukę (jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze w pierścienia Z[(1+\sqrt(-3))/2]) uzupełnił C.F. Gauss.

Do roku 1800 rozsztrzygnięto wszystkie hipotezy z notatek Fermata z jednym wyjątkiem - WFT. Uważa się, że jest to źródło angielskiej nazwy (last theorem = ostatnie twierdzenie).

XIX w.

W 1816 Akademia Francuska funduje nagrodę za pracę o WFT.

W latach 20-tych Sophie Germaine opublikowała dowód twierdzenia: jeśli p i 2p+1 są liczbami pierwszymi, to równanie x^p+y^p=z^p nie ma rozwiązań takich, że p nie dzieli xyz (zachodzi I przypadek WTF).

Wielkie Twierdzenie Fermata dla wykładnika 5 udowodnili w 1825 P.G. Lejeune-Dirichlet i A. M. Legendre.

W 1832 Dirichlet udowonił WTF dla wykładnika 14.

Wielkie Twierdzenie Fermata dla wykładnika 7 udowodnił w 1839 G. Lamé.

1 marca 1847 roku zaczęło się długie współzawodnictwo między Lamé i A. L. Cauchy o pierwszeństwo dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata z wykorzystaniem arytmetyki pierścienia Z[exp(2*i*p /n)]. Żadnemu ze współzawodników nie udało się udowodnić, że w tym pierścieniu zachodzi jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze. 15 marca P. L. Wantzel ogłosił, że udało mu się to wykazać, ale jego dwód obejmował tylko przypadki n=2, 3 i 4 (tzn. pierścienie Z, Z[(1+\sqrt(-3))/2]), i Z[i]). 22 maja 1847 J. Liouville opublikował list, który otrzymał z Wrocławia od E. Kummera: Kummer relacjonował swój artykuł sprzed trzech lat, w którym wykazał, że w pierścieniu Z[exp(2*i*p /n)] ogólnie rzecz biorąc nie zachodzi jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze. Kummer informował również, że w 1846 zaproponował wykorzystanie jednoznaczności rozkładu nie na czynniki pierwsze, a na wprowadzone przez niego tzw. idealne dzielniki. Pozwoliło mu to sformułować dwa warunki na liczbę n, z których wynika Wielkie Twierdzenie Fermata dla wykładnika n. I że te warunki nie zachodzą dla n=37. Później Kummer wykazał, że drugi z tych dwóch warunków wynika z pierwszego i że istnieje prosty rachunkowy sposób sprawdzania pierwszego warunku - we wrześniu 1847, że dla liczb pierwszych n spełniających pierwszy warunek (tzw. regularne liczby pierwsze) zachodzi Wielkie Twierdzenie Fermata - w kwietniu 1847, oraz że istnieją nieregularne liczby pierwsze.

Z liczb pierwszych mniejszych od 100 nieregularne są tylko 37 (Kummer, 1851) 59 i 67. W 1858 Kummer udowodnił, że Wielkie Twierdzenie Fermata zachodzi dla pewnych nieregularnych wykładników, w tym dla 37, 59 i 67. Tym samym Kummer udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata dla wszystkich wykładników mniejszych od 100.

Około 1850 roku Francuska Akademia Nauk ufundowała drugą nagrodę, w wysokości 3 000 franków, za udowodnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata. Nagrodę wycofano, a potem przyznano ją Kummerowi w 1857 roku.

XX w.

W 1908 miłośnik matematyki Wolfskehl zapisał w testamencie 100 000 marek temu, kto udowodni lub obali Wielkie Twierdzenie Fermata. Setki tysięcy ludzi zaczęły bombardować towarzystwa i czasopisma naukowe rękopisami, zawierającymi "dowody" Wielkiego Twierdzenia Fermata. Samo Towarzystwo Matematyczne w Getyndze w ciągu trzech lat od ogłoszenia testamentu Wolfskehla otrzymało ponad tysiąc "dowodów". To, że zapisana suma straciła całkiem wartość wskutek inflacji po pierwszej wojnie światowej zmniejszyło ilość próbujących szczęścia, ale nie ugasiło emocji, które Wielkie Twierdzenie Fermata budzi do dziś.

W Polsce ostatnia afera, rozpętana przez dziennikarzy wokół szaleńca (nazywał się Zajączkowski), który odwiedzał matematyków oświadczając, że ma - złożony u notariusza - dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata, ale nikomu go nie zdradzi i oburzał się, kiedy odpowiadano mu "Do widzenia", miała miejsce w 1975 roku.

W 1909 Wieferich udowodnił, że jeśli x^p + y^p = z^p i p nie dzieli xyz, to 2^p-1-1 dzieli się przez p².

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele regularnych liczb pierwszych; wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele nieregularnych liczb pierwszych (Jensen, 1915). Teoria idealnych dzielników Kummera rozwinęła się w dwie teorie: teorię ideałów i teorię dywizorów.

W 1953 Inkeri udowodnił, że jeśli x^p + y^p = z^p i x<y<z, to

w I przypadku x>((2p³+p)/log(3p))^p;
w II przypadku x>p^3p-4.

W 1971 Brillhart, Tonascia, Weinberger udowodnili, że I przypadek WTF zachodzi dla wszystkich wykładników pierwszych mniejszych od 3*10⁹.

W 1976 Wagstaff sprawdził WTF dla wszystkich wykładników pierwszych mniejszych od 125 000.

W 1983 Gerd Faltings udowodnił hipotezę Mordella, z której wynika, że równanie Q(x,y)=0, gdzie Q(x,y) jest wielomianem o wymiernych współczynnikach, ma skończona liczbę rozwiązań w liczbach wymiernych, o ile rodzaj krzywej Q(x,y)=0 jest większy od 1. Rodzaj krzywej jest równy ilości dziur powierzchni, którą tworzą zespolone rozwiązania równania krzywej; płaszczyzna i powierzchnia homeomorficzna ze sferą (krzywa stożkowa) ma rodzaj 0, homeomorficzna z torusem (krzywa eliptyczna) ma rodzaj 1, itd. Rodzaj krzywej płaskiej o równaniu Q(x,y)=0, gdzie Q(x,y) jest wielomianem stopnia n>2, wynosi (n-1)(n-2)/2. Rodzaj krzywej Fermata xⁿ + yⁿ = 1 jest większy od 1 dla n>3 , więc - przez sprowadzenie do wspólnego mianownika - z twierdzenia Faltingsa wynika, że dla n>3 równanie xⁿ + yⁿ = zⁿ ma najwyżej skończenie wiele rozwiązań z całkowitymi i względnie pierwszymi x,y,z. Filaseta, Granville i Heath-Brown wywnioskowali z twierdzenia Faltingsa, że stosunek liczby wykładników n<N dla których nie zachodzi WTF do N jest ograniczony przez malejącą funkcję zmiennej N.

Gdyby udało się wzmocnić nierówność F. Bogomołowa dla powierzchni arytmetycznych, to ze wzmocnionej nierówności wynikałaby (za pomocą twierdzenia Parszina) hipoteza Szpiro, o związku między tzw. minimalnym wyróżnikiem i konduktorem krzywej eliptycznej. Z hipotezy Szpiro wynika, że WTF zachodzi dla prawie wszystkich wykładników pierwszych. W 1988 w wykładzie w Bonn Miyaoka ogłosił, że udało mu się wzmocnić nierówność Bogomołowa, ale jego dowód okazał się błędny.

Z hipotezy Vojty o wysokościach względem klasy kanonicznej punktów na krzywych określonych nad pierścieniem Z liczb całkowitych, wynika i hipoteza Mordella, i WTF dla prawie wszystkich wykładników n.

W latach 70-tych zauważono (Y. Hellegouarch, Courbes elliptiques et équations de Fermat, Besançon, These 1972; G. Frey Rationale punkten auf Fermatkurven and getwisten Modulkurven, Crelle's Journal Reine Angew. Math. 331(1982), 185-191) , że zaprzeczenie WTF ma dość dziwne konsekwencje w klasycznej dziedzinie matematyki - w teorii krzywych eliptycznych.

Mianowicie jeśli dla liczby pierwszej p

a^p + b^p = c^p

i liczba a jest postaci 4k-1, a liczba b jest parzysta (zawsze można - zmieniając kolejność a,b,c i dobierając odpowiednio znaki - doprowadzić rozwiązanie równania Fermata do takiej postaci), to krzywa eliptyczna o równaniu

y² = x(x-a^p)(x+ b^p)

(krzywa Freya) ma bardzo dziwne własności. Krzywe Freya są semistabilne (tzn. ich konduktor nie dzieli się przez kwadrat liczby pierwszej). Ukoronowaniem ich dziwactw jest zuważone jeszcze przez Freya w 1985 a udowodnione przez K. Ribeta latem 1986 (On modular representations of Gal(Q^--/Q) arising from modular forms, Inv. Math. 100 (1990), 431-476): takie krzywe przeczą wysuniętej dużo wcześniej (lata 50-te i 60-te, i z innych powodów) hipotezie Shimury-Taniyamy-Weila, że każda krzywa eliptyczna nad ciałem liczb wymiernych Q jest modularna. Matematycy zajmujący się krzywymi eliptycznymi, formami modularnymi i tzw. programem Langlandsa - Langlands, Serre - wysuwali silniejsze hipotezy, z których hipoteza Shimury-Taniyamy-Weila wynika.

23 czerwca 1993 roku światową prasę i Internet obiegła wiadomość, że prof. Andrew Wiles udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata. Na zakończenie cyklu trzech wykładów w ramach warsztatów o teorii Iwasawy, formach automorficznych i reprezentacjach p-adycznych w Instytucie I. Newtona w Cambridge, w Anglii, Wiles ogłosił, że udowodnił hipotezę Shimury-Taniyamy-Weila dla semistabilnych krzywych eliptycznych. Po pewnym czasie okazało się, że dowód zawiera lukę.

In view of the speculation on the status of my work on the Taniyama-Shimura conjecture and Fermat's Last Theorem I will give a brief account of the situation. During the review process a number of problems emerged, most of which have been resolved, but one in particular I have not yet settled. The key reduction of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group in the semistable case (of the symmetric square representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands. I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas explained in my Cambridge lectures.

The fact that a lot of work remains to be done on the manuscript makes it still unsuitable for release as a preprint . In my course in Princeton beginning in February I will give a full account of this work.

Andrew Wiles.

W 1995 roku ukazały się dwa artykuły (A. Wiles Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics 141(1995) No. 3 str. 443-551; A. Wiles, R. Taylor Ring Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras, Annals of Mathematics 141 (1995) No. 3 str. 553-572), datowane na 7 października 1994, zawierające poprawiony dowód hipotezy Shimury-Taniyamy-Weila (drugi z nich podaje nowy dowód tego, co w 1993 było luką w dowodzie). Wielkie Twierdzenie Fermata zostało tym samym udowodnione.

Powrót do FAQ